№ 2. Упростите: а) $\frac{x+1}{3x}\cdot\frac{6x^2}{x^2-1}$; б) $\frac{b}{a^2-ab}:\frac{b^2}{a^2-b^2}$; в) $\frac{2a}{a^2-9}-\frac{1}{a+3}$; г) $\frac{a}{a+c}-\frac{2ac}{a^2-c^2}+\frac{c}{a-c}$; д) $\frac{a^2-4}{a}\cdot\frac{1}{a+2}-\frac{a+2}{a}$; е) $\left(\frac{c}{a-c}-\frac{c}{a}\right)\cdot\frac{a^2}{c^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 2. Упростите: а) $\frac{x+1}{3x}\cdot\frac{6x^2}{x^2-1}$; б) $\frac{b}{a^2-ab}:\frac{b^2}{a^2-b^2}$; в)…$ Фото задания

№ 2. Упростите: а) $\frac{x+1}{3x}\cdot\frac{6x^2}{x^2-1}$; б) $\frac{b}{a^2-ab}:\frac{b^2}{a^2-b^2}$; в) $\frac{2a}{a^2-9}-\frac{1}{a+3}$; г) $\frac{a}{a+c}-\frac{2ac}{a^2-c^2}+\frac{c}{a-c}$; д) $\frac{a^2-4}{a}\cdot\frac{1}{a+2}-\frac{a+2}{a}$; е) $\left(\frac{c}{a-c}-\frac{c}{a}\right)\cdot\frac{a^2}{c^2}$.

Accepted Answer

Разложим $x^2-1=(x-1)(x+1)$ и сократим общие множители:
\[\frac{x+1}{3x}\cdot\frac{6x^2}{x^2-1}=\frac{x+1}{3x}\cdot\frac{6x^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x-1}.\]
Ограничения: $x\ne0,1,-1$.
Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим знаменатели:
\[\frac{b}{a^2-ab}:\frac{b^2}{a^2-b^2}=\frac{b}{a(a-b)}\cdot\frac{(a-b)(a+b)}{b^2}=\frac{a+b}{ab}.\]
Ограничения исходного выражения: $a\ne0$, $a\ne b$, $a\ne-b$, $b\ne0$.
Приведём дроби к общему знаменателю:
\[\frac{2a}{a^2-9}-\frac{1}{a+3}=\frac{2a}{(a-3)(a+3)}-\frac{a-3}{(a-3)(a+3)}=\frac{a+3}{(a-3)(a+3)}=\frac{1}{a-3}.\]
Ограничения: $a\ne3,-3$.
Используем $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$ и общий знаменатель:
\[\frac{a}{a+c}-\frac{2ac}{a^2-c^2}+\frac{c}{a-c}=\frac{a(a-c)-2ac+c(a+c)}{(a-c)(a+c)}.\]
Числитель равен $a^2-ac-2ac+ac+c^2=(a-c)(a+c)$, поэтому выражение равно $1$.
Ограничения: $a\ne c$, $a\ne-c$.
Разложим разность квадратов и сократим:
\[\frac{a^2-4}{a}\cdot\frac{1}{a+2}-\frac{a+2}{a}=\frac{(a-2)(a+2)}{a(a+2)}-\frac{a+2}{a}=\frac{a-2}{a}-\frac{a+2}{a}=-\frac{4}{a}.\]
Ограничения: $a\ne0,-2$.
Вычтем дроби в скобках, затем умножим на $\frac{a^2}{c^2}$:
\[\left(\frac{c}{a-c}-\frac{c}{a}\right)\cdot\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{a(a-c)}\cdot\frac{a^2}{c^2}=\frac{a}{a-c}.\]
Ограничения: $a\ne0$, $c\ne0$, $a\ne c$.

Ответ: а) $\frac{2x}{x-1}$; б) $\frac{a+b}{ab}$; в) $\frac{1}{a-3}$; г) $1$; д) $-\frac{4}{a}$; е) $\frac{a}{a-c}$.