2. Упростите выражение: 1) \(\frac{9a}{a-4}-\frac{a+2}{2a-8}\cdot\frac{96}{a^2+2a}\); 2) \(\left(\frac{a+7}{a-7}-\frac{a-7}{a+7}\right):\frac{14a}{49-a^2}\). Докажите тождество \(\left(\frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x}\right):\frac{x^2-6}{x^3-4x}=\frac{x-2}{x+2}\).

1. Разложим знаменатели на множители и сократим произведение:

   \(\frac{9a}{a-4}-\frac{a+2}{2(a-4)}\cdot\frac{96}{a(a+2)}=\frac{9a}{a-4}-\frac{48}{a(a-4)}\).

   Приведём дроби к общему знаменателю:

   \(\frac{9a^2-48}{a(a-4)}=\frac{3(3a^2-16)}{a(a-4)}\).

2. Вычислим разность в скобках:

   \(\frac{(a+7)^2-(a-7)^2}{(a-7)(a+7)}=\frac{28a}{a^2-49}\).

   Так как \(49-a^2=-(a^2-49)\), получаем:

   \(\frac{28a}{a^2-49}:\frac{-14a}{a^2-49}=-2\).

Докажем тождество. Разложим знаменатели на множители и приведём выражения в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{2x+5}{(x+2)^2}-\frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{x(2x+5)-(x+3)(x+2)}{x(x+2)^2}=\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\).

Также \(x^3-4x=x(x-2)(x+2)\). Поэтому

\(\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}:\frac{x^2-6}{x(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\cdot\frac{x(x-2)(x+2)}{x^2-6}=\frac{x-2}{x+2}\).

Равенство доказано при допустимых значениях \(x\): \(x\ne -2,0,2\) и \(x^2\ne6\). Для первого выражения допустимы \(a\ne0,4,-2\); для второго — \(a\ne-7,0,7\).

Ответ: 1) \(\frac{3(3a^2-16)}{a(a-4)}\); 2) \(-2\). Тождество доказано.