2. Упростите выражение: a) \(\frac{7^n - 7^{-n}}{1 - 49^{-n}}\); 6) ((x^{-1} + x^2y^{-3}) : (x^{-1} + xy^{-2} + (-y)^{-1})) : \(\frac{(x-y)^2 + 4xy}{1 + x^{-1}y}\)

Решение:

1. \( \frac{7^n - 7^{-n}}{1 - 49^{-n}} = \frac{7^n - \frac{1}{7^n}}{1 - \frac{1}{49^n}} = \frac{\frac{7^{2n}-1}{7^n}}{\frac{49^n-1}{49^n}} = \frac{7^{2n}-1}{7^n} \cdot \frac{49^n}{49^n-1} = \frac{7^{2n}-1}{7^n} \cdot \frac{(7^2)^n}{(7^2)^n-1} = \frac{7^{2n}-1}{7^n} \cdot \frac{7^{2n}}{7^{2n}-1} = 7^n \)
2. \( (x^{-1} + x^2y^{-3}) = \frac{1}{x} + \frac{x^2}{y^3} = \frac{y^3 + x^3}{xy^3} \)
   \( (x^{-1} + xy^{-2} + (-y)^{-1}) = \frac{1}{x} + \frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} = \frac{y^2 + xy^3 - xy^2}{xy^2y} \)
   \( \frac{y^3 + x^3}{xy^3} : \frac{y^2 + xy^3 - xy^2}{xy^2y} = \frac{(y+x)(y^2-xy+x^2)}{xy^3} \cdot \frac{xy^3}{y^2 + xy^3 - xy^2} = \frac{(y+x)(y^2-xy+x^2)}{y^2 + xy^3 - xy^2} \)
   \( \frac{(x-y)^2 + 4xy}{1 + x^{-1}y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2 + 4xy}{1 + \frac{y}{x}} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{\frac{x+y}{x}} = \frac{(x+y)^2}{\frac{x+y}{x}} = \frac{(x+y)^2 \cdot x}{x+y} = x(x+y) \)
   \( \frac{(y+x)(y^2-xy+x^2)}{y^2 + xy^3 - xy^2} : x(x+y) = \frac{(y+x)(y^2-xy+x^2)}{y^2 + xy^3 - xy^2} \cdot \frac{1}{x(x+y)} = \frac{y^2-xy+x^2}{x(y^2 + xy^3 - xy^2)} \)

Ответ: a) 7ⁿ; б) \( \frac{x^2-xy+y^2}{x(y^2 + xy^3 - xy^2)} \).