2. Ускорение материальной точки изменяется по закону a = kt e_x - m e_y, где k = 3м/с^4, m = 3м/с^2. Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет находиться в момент времени t=1 с, если v_0 = 0 и r_0 = 0 при t=0.

Решение:

Задано ускорение материальной точки: \( \vec{a} = kt \vec{e}_x - m \vec{e}_y \).

Даны константы: \( k = 3 \) м/с⁴, \( m = 3 \) м/с².

Начальные условия: \( \vec{v}_0 = 0 \), \( \vec{r}_0 = 0 \) при \( t=0 \).

Нужно найти расстояние от начала координат в момент времени \( t=1 \) с.

1. Найдем вектор скорости, интегрируя ускорение по времени: \[ \vec{v}(t) = \int \vec{a} dt = \int (kt \vec{e}_x - m \vec{e}_y) dt = \frac{1}{2}kt^2 \vec{e}_x - mt \vec{e}_y + \vec{C}_1 \]
2. Используем начальное условие \( \vec{v}_0 = 0 \) при \( t=0 \) для нахождения \( \vec{C}_1 \): \[ 0 = \frac{1}{2}k(0)^2 \vec{e}_x - m(0) \vec{e}_y + \vec{C}_1 \] \( \vec{C}_1 = 0 \)
3. Таким образом, вектор скорости: \[ \vec{v}(t) = \frac{1}{2}kt^2 \vec{e}_x - mt \vec{e}_y \]
4. Найдем вектор положения, интегрируя скорость по времени: \[ \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \int (\frac{1}{2}kt^2 \vec{e}_x - mt \vec{e}_y) dt = \frac{1}{6}kt^3 \vec{e}_x - \frac{1}{2}mt^2 \vec{e}_y + \vec{C}_2 \]
5. Используем начальное условие \( \vec{r}_0 = 0 \) при \( t=0 \) для нахождения \( \vec{C}_2 \): \[ 0 = \frac{1}{6}k(0)^3 \vec{e}_x - \frac{1}{2}m(0)^2 \vec{e}_y + \vec{C}_2 \] \( \vec{C}_2 = 0 \)
6. Таким образом, вектор положения: \[ \vec{r}(t) = \frac{1}{6}kt^3 \vec{e}_x - \frac{1}{2}mt^2 \vec{e}_y \]
7. Подставим значения \( k=3 \) м/с⁴, \( m=3 \) м/с² и \( t=1 \) с: \[ \vec{r}(1) = \frac{1}{6}(3)(1)^3 \vec{e}_x - \frac{1}{2}(3)(1)^2 \vec{e}_y \] \[ \vec{r}(1) = \frac{3}{6} \vec{e}_x - \frac{3}{2} \vec{e}_y \] \[ \vec{r}(1) = 0.5 \vec{e}_x - 1.5 \vec{e}_y \]
8. Расстояние от начала координат — это модуль вектора положения: \[ |\vec{r}(1)| = \sqrt{(0.5)^2 + (-1.5)^2} \] \[ |\vec{r}(1)| = \sqrt{0.25 + 2.25} \] \[ |\vec{r}(1)| = \sqrt{2.5} \] \( \sqrt{2.5} \approx 1.581 \)

Ответ: \( \sqrt{2.5} \) м.