2. Ускорение материальной точки изменяется по закону а = kt²ēx - mēy, где k = 3м/с⁴, m = 3м/с². Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет находиться в момент времени t=1 с, если V₀ = 0 и r₀ = 0 при t=0.

Решение:

Дано ускорение точки: \( \vec{a} = kt^2\vec{e}_x - m\vec{e}_y \), где \( k = 3 \text{ м/с}^4 \) и \( m = 3 \text{ м/с}^2 \).

Начальные условия: \( \vec{v}_0 = 0 \) и \( \vec{r}_0 = 0 \) при \( t=0 \).

Найдем вектор скорости, проинтегрировав вектор ускорения по времени:

\[ \vec{v}(t) = \int \vec{a} dt = \int (kt^2\vec{e}_x - m\vec{e}_y) dt = \frac{1}{3}kt^3\vec{e}_x - mt\vec{e}_y + \vec{C}_1 \]

Используем начальное условие \( \vec{v}_0 = 0 \) при \( t=0 \) для определения \( \vec{C}_1 \):

\( 0 = \frac{1}{3}k(0)^3\vec{e}_x - m(0)\vec{e}_y + \vec{C}_1 \) \(\Rightarrow\) \( \vec{C}_1 = 0 \).

Следовательно, вектор скорости:

\[ \vec{v}(t) = \frac{1}{3}kt^3\vec{e}_x - mt\vec{e}_y \]

Теперь найдем вектор положения, проинтегрировав вектор скорости по времени:

\[ \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \int (\frac{1}{3}kt^3\vec{e}_x - mt\vec{e}_y) dt = \frac{1}{12}kt^4\vec{e}_x - \frac{1}{2}mt^2\vec{e}_y + \vec{C}_2 \]

Используем начальное условие \( \vec{r}_0 = 0 \) при \( t=0 \) для определения \( \vec{C}_2 \):

\( 0 = \frac{1}{12}k(0)^4\vec{e}_x - \frac{1}{2}m(0)^2\vec{e}_y + \vec{C}_2 \) \(\Rightarrow\) \( \vec{C}_2 = 0 \).

Следовательно, вектор положения:

\[ \vec{r}(t) = \frac{1}{12}kt^4\vec{e}_x - \frac{1}{2}mt^2\vec{e}_y \]

Теперь подставим значение времени \( t=1 \) с и данные константы \( k=3 \text{ м/с}^4 \) и \( m=3 \text{ м/с}^2 \):

\[ \vec{r}(1) = \frac{1}{12}(3)(1)^4\vec{e}_x - \frac{1}{2}(3)(1)^2\vec{e}_y \]

\( \vec{r}(1) = \frac{3}{12}\vec{e}_x - \frac{3}{2}\vec{e}_y \)

\( \vec{r}(1) = \frac{1}{4}\vec{e}_x - \frac{3}{2}\vec{e}_y \) м

Расстояние от начала координат равно модулю вектора положения:

\[ |\vec{r}(1)| = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (-\frac{3}{2})^2} \]

\( |\vec{r}(1)| = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{36}{16}} = \sqrt{\frac{37}{16}} = \frac{\sqrt{37}}{4} \) м

Ответ: \( \frac{\sqrt{37}}{4} \) м.