2. Ускорение материальной точки изменяется по закону \( \vec{a} = kt^2 \vec{e}_x - m \vec{e}_y \), где \( k = 3 \text{ м/с}^4 \), \( m = 3 \text{ м/с}^2 \). Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет находиться в момент времени \( t = 1 \text{ с} \), если \( \vec{v}_0 = 0 \) и \( \vec{r}_0 = 0 \) при \( t = 0 \).

Решение:

Ускорение материальной точки задано как \( \vec{a} = kt^2 \vec{e}_x - m \vec{e}_y \).
Дано: \( k = 3 \text{ м/с}^4 \), \( m = 3 \text{ м/с}^2 \).

Чтобы найти положение точки, нам нужно проинтегрировать ускорение дважды по времени.

1. Найдем скорость \( \vec{v}(t) \) путем интегрирования ускорения \( \vec{a}(t) \):
   \[ \vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) dt = \int (kt^2 \vec{e}_x - m \vec{e}_y) dt = \frac{kt^3}{3} \vec{e}_x - mt \vec{e}_y + \vec{C}_1 \]
2. Из условия задачи известно, что начальная скорость \( \vec{v}_0 = 0 \) при \( t = 0 \). Подставим это в уравнение для скорости:
   \[ 0 = \frac{k(0)^3}{3} \vec{e}_x - m(0) \vec{e}_y + \vec{C}_1 \]
   \[ \vec{C}_1 = 0 \]
3. Таким образом, уравнение скорости: \( \vec{v}(t) = \frac{kt^3}{3} \vec{e}_x - mt \vec{e}_y \).
4. Теперь найдем положение \( \vec{r}(t) \) путем интегрирования скорости \( \vec{v}(t) \):
   \[ \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \int (\frac{kt^3}{3} \vec{e}_x - mt \vec{e}_y) dt = \frac{kt^4}{12} \vec{e}_x - \frac{mt^2}{2} \vec{e}_y + \vec{C}_2 \]
5. Из условия задачи известно, что начальное положение \( \vec{r}_0 = 0 \) при \( t = 0 \). Подставим это в уравнение для положения:
   \[ 0 = \frac{k(0)^4}{12} \vec{e}_x - \frac{m(0)^2}{2} \vec{e}_y + \vec{C}_2 \]
   \[ \vec{C}_2 = 0 \]
6. Таким образом, уравнение положения: \( \vec{r}(t) = \frac{kt^4}{12} \vec{e}_x - \frac{mt^2}{2} \vec{e}_y \).
7. Теперь подставим заданные значения \( k = 3 \text{ м/с}^4 \) и \( m = 3 \text{ м/с}^2 \), и время \( t = 1 \text{ с} \):
   \[ \vec{r}(1) = \frac{3 \, (1)^4}{12} \vec{e}_x - \frac{3 \, (1)^2}{2} \vec{e}_y \]
   \[ \vec{r}(1) = \frac{3}{12} \vec{e}_x - \frac{3}{2} \vec{e}_y \]
   \[ \vec{r}(1) = \frac{1}{4} \vec{e}_x - \frac{3}{2} \vec{e}_y \]
8. Расстояние от начала координат равно модулю вектора положения \( \vec{r}(1) \):
   \[ |\vec{r}(1)| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{4}} \]
9. Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{9}{4} = \frac{9 \times 4}{4 \times 4} = \frac{36}{16} \)
10. \( |\vec{r}(1)| = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{36}{16}} = \sqrt{\frac{37}{16}} = \frac{\sqrt{37}}{4} \text{ м} \)

Ответ: расстояние от начала координат будет \( \frac{\sqrt{37}}{4} \text{ м} \).