2) В △ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°. Высота CH = 3. Найти: AC.

Разбор задачи

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где известен один острый угол и длина высоты, проведенной к гипотенузе. Нужно найти один из катетов.

1. Нахождение ∠A: Сумма углов в треугольнике равна 180°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно, ∠A = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°.
2. Рассмотрение △BCH: В этом треугольнике ∠B = 60°, ∠BHC = 90°. Значит, ∠BCH = 90° - 60° = 30°.
3. Рассмотрение △ACH: В этом треугольнике ∠A = 30°, ∠AHC = 90°. Значит, ∠ACH = 90° - 30° = 60°.
4. Применение тригонометрии:
• В △ACH: AC = CH / sin(∠A) = 3 / sin(30°) = 3 / (1/2) = 3 * 2 = 6.
• В △ABC: AC = BC * tg(∠B). Нам нужно найти BC.
• В △BCH: CH = BC * sin(∠B). Отсюда BC = CH / sin(∠B) = 3 / sin(60°) = 3 / (√3/2) = 6/√3 = 2√3.
• Теперь найдем AC в △ABC: AC = BC * tg(∠A) = 2√3 * tg(30°) = 2√3 * (1/√3) = 2.
5. Ошибка в рассуждениях. Перепроверим.
6. Правильное применение тригонометрии:
• В △ACH: sin(∠A) = CH / AC. Отсюда AC = CH / sin(∠A) = 3 / sin(30°) = 3 / (1/2) = 6.
• В △BCH: sin(∠B) = CH / BC. Отсюда BC = CH / sin(∠B) = 3 / sin(60°) = 3 / (√3/2) = 6/√3 = 2√3.
• Проверка по △ABC: AC² + BC² = AB². AB — гипотенуза.
• В △ACH: AC = CH / sin(30°) = 3 / (1/2) = 6.
• В △BCH: BC = CH / sin(60°) = 3 / (√3/2) = 6/√3 = 2√3.
• В △ABC: tg(B) = AC/BC. tg(60°) = √3. AC/BC = 6 / (2√3) = 3/√3 = √3. Верно.
• В △ABC: tg(A) = BC/AC. tg(30°) = 1/√3. BC/AC = (2√3) / 6 = √3/3 = 1/√3. Верно.

Ответ: 6