2. В банке рядом друг с другом стоят два банкомата – старый и новый. Вероятность того, что в течение дня в старом банкомате закончатся денежные купюры, равна 0,2. Вероятность того, что купюры закончатся в новом банкомате, равна 0,1. В двух банкоматах купюры могут закончиться с вероятностью 0,05. Найдите вероятность события: a) «в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов»; б) «в течение дня купюры не закончатся ни в одном из банкоматов»; в) «в течение дня купюры закончатся только в старом банкомате»; г) «к вечеру купюры останутся хотя бы в одном из банкоматов».

Решение:

Обозначим события:

• С – в старом банкомате закончатся купюры. \( P(C) = 0.2 \)
• Н – в новом банкомате закончатся купюры. \( P(H) = 0.1 \)
• С ∩ Н – купюры закончатся в обоих банкоматах. \( P(C \cap H) = 0.05 \)

а) «в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов»

Это событие означает, что купюры закончатся в старом банкомате ИЛИ в новом банкомате (или в обоих). Используем формулу сложения вероятностей для совместных событий:

\[ P(C \cup H) = P(C) + P(H) - P(C \cap H) \]

\[ P(C \cup H) = 0.2 + 0.1 - 0.05 = 0.3 - 0.05 = 0.25 \]

б) «в течение дня купюры не закончатся ни в одном из банкоматов»

Это событие является противоположным событию «купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов». Обозначим его \( r(C r H) \). Вероятность противоположного события равна:

\[ P(r(C \cup H)) = 1 - P(C \cup H) \]

\[ P(r(C \cup H)) = 1 - 0.25 = 0.75 \]

в) «в течение дня купюры закончатся только в старом банкомате»

Это означает, что купюры закончились в старом банкомате, но НЕ закончились в новом. Для этого из вероятности того, что закончатся в старом, вычтем вероятность того, что закончатся в обоих:

\[ P(C \text{ только}) = P(C) - P(C \cap H) \]

\[ P(C \text{ только}) = 0.2 - 0.05 = 0.15 \]

г) «к вечеру купюры останутся хотя бы в одном из банкоматов»

Это событие противоположно тому, что купюры закончатся в обоих банкоматах. Событие «купюры закончатся в обоих банкоматах» уже обозначено как \( C ∩ H \) с вероятностью \( P(C \cap H) = 0.05 \).

Следовательно, вероятность того, что купюры останутся хотя бы в одном банкомате:

\[ P(r(C \cap H)) = 1 - P(C \cap H) \]

\[ P(r(C \cap H)) = 1 - 0.05 = 0.95 \]

Ответ: а) 0.25; б) 0.75; в) 0.15; г) 0.95.