№ 2. В чугунном тигле находится кусок олова массой m = 1,2 кг при температуре t₁ = 80 °C. Напряжение на электрической спирали сопротивлением R = 2800 Ом нагревателя изменяется по закону, график которого изображён на рисунке, где t₀ = 1 мин, U₀ = 17 В. Спустя 4t₀ цикл повторяется. Удельная теплоёмкость олова c = 0,25 кДж/(кг·°C), удельная теплота плавления олова λ = 60 кДж/кг, температура плавления олова tпл = 232 °C. Теплоёмкостью тигля и потерями тепла в окружающую среду пренебречь. Считайте, что потерь энергии в тигле не происходит. Какое количество теплоты выделяется в нагревателе за один цикл? Ответ выразите в джоулях, округлите до целых. Через какое время, считая от момента замыкания цепи, температура олова увеличится в 2 раза? Ответ выразите в минутах, округлите до десятых. Через какое время, считая от момента замыкания цепи, олово начнёт плавиться? Ответ выразите в минутах, округлите до десятых.

По графику напряжение в течение четырёх интервалов длительностью по 1 мин равно соответственно 5U₀, −5U₀, 10U₀ и 0. За цикл выделяется энергия по закону Джоуля — Ленца: \(Q=\sum \frac{U^2}{R}\Delta t\). Знак напряжения на количество теплоты не влияет.

1. Переведём длительность одного интервала в секунды: \(t₀=60\) с.
2. Подставим напряжения и найдём энергию за цикл: \(Q=\frac{(5\cdot17)^2\cdot60+(-5\cdot17)^2\cdot60+(10\cdot17)^2\cdot60}{2800}\approx928.93\) Дж.
3. Округляя до целых, получаем 929 Дж.

Чтобы температура удвоилась, олово должно нагреться от 80 °C до 160 °C. Переведём теплоёмкость: \(c=250\) Дж/(кг·°C). Тогда требуемое количество теплоты равно \(Q₁=mc(160-80)=1.2\cdot250\cdot80=24000\) Дж.

За один цикл нагреватель выделяет примерно 928.93 Дж. После 25 циклов выделится примерно 23223.21 Дж; в следующем цикле нужно получить ещё около 776.79 Дж. Первые два минутных интервала этого цикла дают около 309.64 Дж, а в третьем интервале мощность равна \((10U₀)^2/R\approx10.32\) Вт. Поэтому оставшаяся энергия выделится за \((776.79-309.64)/10.32\approx45.3\) с. Итого \(25\cdot4+2+45.3/60\approx102.8\) мин.

Для начала плавления нужно нагреть олово до 232 °C: \(Q₂=mc(232-80)=1.2\cdot250\cdot152=45600\) Дж. Теплота плавления здесь не требуется, поскольку спрашивается момент начала плавления.

После 49 циклов выделится примерно 45517.5 Дж. Оставшиеся около 82.5 Дж набираются в первом интервале следующего цикла, где мощность \((5U₀)^2/R\approx2.58\) Вт. Это занимает около 32 с. Общее время: \(49\cdot4+32/60\approx196.5\) мин.

Ответ: за цикл — 929 Дж; температура удвоится через 102,8 мин; олово начнёт плавиться через 196,5 мин.