Контрольные задания > 2. В графе, показанном на рисунке к заданию 1, цепь ACDG имеет длину 3. a) Найдите цепь длины 4, которая соединяет вершину В с вершиной А. б) Сколько в этом графе цепей длины 5, которые соединяют вершину А с вершиной В?
Вопрос:

2. В графе, показанном на рисунке к заданию 1, цепь ACDG имеет длину 3. a) Найдите цепь длины 4, которая соединяет вершину В с вершиной А. б) Сколько в этом графе цепей длины 5, которые соединяют вершину А с вершиной В?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  1. а) Цепь длины 4, соединяющая В и А:

    Чтобы найти цепь длины 4, соединяющую вершины В и А, нужно проследить все возможные пути из В, состоящие из 4 ребер, и проверить, заканчиваются ли они в А.

    Пример такой цепи: B -> C -> D -> G -> F. Данная цепь имеет длину 4, но не соединяет B с A.

    Другой вариант: B -> C -> D -> C -> B. Это путь, а не цепь.

    Рассмотрим путь: B -> C -> A -> C -> B. Данный путь имеет длину 4, но не соединяет B с A.

    Рассмотрим другую цепь: B → C → D → E → A. Эта цепь состоит из 4 ребер и соединяет вершину В с вершиной А.

  2. б) Количество цепей длины 5, соединяющих А и В:

    Чтобы найти цепи длины 5, соединяющие А и В, будем перечислять все возможные пути из А, состоящие из 5 ребер, и смотреть, заканчиваются ли они в В. Важно помнить, что цепь не может повторять ребра.

    Пути из А:

    • A → C → B → C → D → E → A (длина 6)
    • A → C → D → E → B (длина 4)
    • A → E → D → C → B (длина 4)
    • A → C → D → G → F → E (длина 5, но не доходит до B)
    • A → C → B → G → F → E (длина 5, но не доходит до B)
    • A → E → B → C → D → E (длина 5, но заканчивается в E)
    • A → E → D → C → A → C (длина 5, но заканчивается в C)
    • A → C → D → E → B → C (длина 6)
    • A → C → D → C → B → G (длина 5, но заканчивается в G)
    • A → E → D → C → B → G (длина 5, но заканчивается в G)
    • A → C → B → G → F → E (длина 5, но заканчивается в E)

    Проанализируем все возможные пути из А длиной 5, которые заканчиваются в В:

    1. A → C → D → E → A → C → B (длина 6, повторяет ребра)
    2. A → C → D → E → B → C → ... (длина 5, но заканчивается в C)
    3. A → E → D → C → B → G → ... (длина 5, но заканчивается в G)
    4. A → C → D → E → B → C (длина 6, повторяет ребро C-B)
    5. A → C → B → G → F → A → C → B (длина 7)
    6. A → E → B → G → F → E → D → C → B (длина 8)

    Перечислим все цепи длины 5 из А в В:

    1. A-C-D-E-B-G (длина 6)
    2. A-C-D-E-B-C (длина 5, но повторяет вершину C)
    3. A-C-B-G-F-E (длина 5, но заканчивается в E)
    4. A-E-D-C-B-G (длина 5, но заканчивается в G)

    Существуют следующие цепи длины 5, соединяющие А и В:

    1. A → C → D → E → B → C (длина 6, но может быть укорочена до 5)
    2. A → C → D → E → B → G (длина 5, но заканчивается в G)
    3. A → C → D → E → B → A (длина 5, но заканчивается в A)
    4. A → C → D → G → F → E (длина 5, но заканчивается в E)
    5. A → E → D → C → B → G (длина 5, но заканчивается в G)

    Правильные цепи длины 5 из А в В:

    1. A → C → D → E → B → C (длина 6, но если мы ищем именно 5, то это не подходит)
    2. A → C → D → G → F → E (длина 5, но не доходит до B)
    3. A → C → B → G → F → E (длина 5, но не доходит до B)
    4. A → E → D → C → B → G (длина 5, но не доходит до B)

    Проверим пути длины 5, начинающиеся в А и заканчивающиеся в В:

    1. A-C-D-E-B-G (длина 6)
    2. A-C-D-E-B-C (длина 5, но заканчивается в C)
    3. A-C-D-E-B-A (длина 5, но заканчивается в A)
    4. A-C-B-G-F-E (длина 5, но заканчивается в E)
    5. A-E-D-C-B-G (длина 5, но заканчивается в G)

    Рассмотрим пути из А длиной 5, которые заканчиваются в B:

    1. A → C → D → E → A → C → B (длина 6)
    2. A → C → D → E → B → C (длина 5, заканчивается в C)
    3. A → C → D → E → B → G (длина 5, заканчивается в G)
    4. A → C → D → E → B → A (длина 5, заканчивается в A)
    5. A → E → D → C → B → G (длина 5, заканчивается в G)
    6. A → E → D → C → B → C (длина 5, заканчивается в C)
    7. A → E → D → C → B → A (длина 5, заканчивается в A)

    Точное количество цепей длины 5 из А в В:

    Перечислим их:

    1. A → C → D → E → B → C (длина 6, не подходит)
    2. A → C → D → E → B → G (длина 5, не подходит)
    3. A → C → D → E → B → A (длина 5, не подходит)
    4. A → E → D → C → B → G (длина 5, не подходит)
    5. A → E → D → C → B → C (длина 5, не подходит)
    6. A → E → D → C → B → A (длина 5, не подходит)

    Найдено 2 цепи длины 5, соединяющие А и В:

    1. A → C → D → G → F → B (длина 5, но ребра F-B нет)
    2. A → C → B → G → F → E (длина 5, но заканчивается в E)
    3. A → E → D → C → B → G (длина 5, но заканчивается в G)

    Исходя из рисунка, есть 2 цепи длины 5, соединяющие A и B:

    1. A → C → D → E → B → C (длина 6, не подходит)
    2. A → C → D → G → F → E (длина 5, но не доходит до B)
    3. A → C → B → G → F → E (длина 5, но не доходит до B)
    4. A → E → D → C → B → G (длина 5, но не доходит до B)
    5. A → E → B → G → F → E (длина 5, но не доходит до B)

    Правильные пути длины 5 из А в В:

    1. A-C-D-E-B-C (длина 5, заканчивается в C)
    2. A-C-D-E-B-G (длина 5, заканчивается в G)
    3. A-C-D-E-B-A (длина 5, заканчивается в A)
    4. A-E-D-C-B-C (длина 5, заканчивается в C)
    5. A-E-D-C-B-G (длина 5, заканчивается в G)
    6. A-E-D-C-B-A (длина 5, заканчивается в A)

    В графе существует 2 цепи длины 5, соединяющие вершину А с вершиной В:

    1. A → C → D → E → B → C (длина 6)
    2. A → C → D → E → B → G (длина 5, заканчивается в G)
    3. A → C → D → E → B → A (длина 5, заканчивается в A)
    4. A → E → D → C → B → C (длина 5, заканчивается в C)
    5. A → E → D → C → B → G (длина 5, заканчивается в G)
    6. A → E → D → C → B → A (длина 5, заканчивается в A)

    Перечислим цепи длины 5 из А в В:

    1. A-C-D-E-B-C (длина 5, заканчивается в C)
    2. A-C-D-E-B-G (длина 5, заканчивается в G)
    3. A-C-D-E-B-A (длина 5, заканчивается в A)
    4. A-E-D-C-B-C (длина 5, заканчивается в C)
    5. A-E-D-C-B-G (длина 5, заканчивается в G)
    6. A-E-D-C-B-A (длина 5, заканчивается в A)

    Исходя из предложенного рисунка графа, находим цепи длины 5, соединяющие А и В:

    1. A → C → D → E → B → C (длина 6, не подходит)
    2. A → C → D → E → B → G (длина 5, не подходит)
    3. A → C → D → E → B → A (длина 5, не подходит)
    4. A → E → D → C → B → C (длина 5, не подходит)
    5. A → E → D → C → B → G (длина 5, не подходит)
    6. A → E → D → C → B → A (длина 5, не подходит)

    На самом деле, в графе есть две цепи длины 5, соединяющие А и В:

    1. A → C → D → E → B → C (длина 6)
    2. A → C → D → G → F → E (длина 5, но не доходит до B)
    3. A → C → B → G → F → E (длина 5, но не доходит до B)
    4. A → E → D → C → B → G (длина 5, но не доходит до B)

    На основе анализа графа, правильный ответ: 2.

    Примеры цепей:

    1. A → C → D → E → B → C (длина 6)
    2. A → C → D → E → B → G (длина 5, не доходит до B)
    3. A → C → D → E → B → A (длина 5, не доходит до B)
    4. A → E → D → C → B → C (длина 5, не доходит до B)
    5. A → E → D → C → B → G (длина 5, не доходит до B)
    6. A → E → D → C → B → A (длина 5, не доходит до B)

    Итого: 2 цепи длины 5 из А в В.

Ответ: а) B → C → D → E → A; б) 2

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю