2. В классе 30 учеников. Вася сделал в диктанте 13 ошибок, а остальные — меньше. а) Докажите, что найдутся три ученика, сделавших поровну ошибок. б) Обязательно ли найдутся 4 таких ученика?

Решение:

а) Доказательство.

Разберёмся, сколько ошибок могли сделать ученики. Из условия известно, что Вася сделал 13 ошибок, а остальные ученики — меньше. Значит, возможные количества ошибок, сделанных учениками, — от 0 до 12. У нас есть:

• 30 учеников (объекты).
• 13 возможных вариантов количества ошибок (от 0 до 12) — 'ящики' по принципу Дирихле.

По принципу Дирихле, если мы распределяем \( n \) объектов по \( m \) ящикам, и \( n > m \), то хотя бы в одном ящике будет больше одного объекта. В нашем случае \( 30 > 13 \), значит, как минимум два ученика сделали одинаковое количество ошибок.

Теперь нужно доказать, что найдутся три ученика с одинаковым количеством ошибок. Обозначим количество учеников, сделавших \( k \) ошибок, как \( n_k \). У нас есть:

• \( n_0 + n_1 + … + n_{12} = 30 \)
• \( k ∈ \{0, 1, …, 12\} \)

Предположим противное: что в каждом 'ящике' (количестве ошибок) не более двух учеников. Тогда общее количество учеников было бы:

\( 2 × 13 = 26 \) учеников.

Но у нас 30 учеников. \( 30 > 26 \). Это значит, что наше предположение неверно. Следовательно, по крайней мере в одном 'ящике' (количестве ошибок) будет 3 или более учеников.

Вывод: Да, найдутся три ученика, сделавших поровну ошибок.

б) Обязательно ли найдутся 4 таких ученика?

Чтобы определить, обязательно ли найдутся 4 ученика с одинаковым количеством ошибок, проверим, возможно ли распределить 30 учеников так, чтобы в каждом 'ящике' было не более 3 учеников.

Максимальное количество учеников при условии, что в каждом из 13 'ящиков' (от 0 до 12 ошибок) будет по 3 ученика:

\( 3 × 13 = 39 \) учеников.

Поскольку \( 30 \) учеников меньше, чем \( 39 \), мы можем распределить учеников так, чтобы в каждой группе было не более 3 человек. Например:

• По 3 ученика сделают 10 ошибок ( \( 3 × 10 = 30 \) ).
• Или, например, по 2 ученика сделают 10 ошибок ( \( 2 × 10 = 20 \) ), а по 1 ученику сделают 10 ошибок ( \( 1 × 10 = 10 \) ).

Но нас интересует, обязательно ли найдутся 4. Воспользуемся принципом Дирихле. Мы хотим узнать, обязательно ли в одном 'ящике' будет 4 ученика. Для этого нужно, чтобы общее количество учеников было больше, чем \( (4-1) \times 13 \).

\( (4-1) \times 13 = 3 \times 13 = 39 \).

У нас всего 30 учеников. Поскольку \( 30 \) не больше \( 39 \), мы не можем гарантировать, что найдётся группа из 4 учеников с одинаковым количеством ошибок.

Вывод: Нет, не обязательно найдутся 4 таких ученика.

Ответ: а) Да, найдутся три ученика, сделавших поровну ошибок. б) Нет, не обязательно найдутся 4 таких ученика.