2) В классе 5 мальчиков и 5 девочек. Случайным образом выбирают двух учеников. Постройте дерево. Найдите вероятность того, что будут выбраны: а) два мальчика; б) мальчик и девочка; в) хотя бы одна девочка.

Решение задачи 2:

В классе 5 мальчиков (М) и 5 девочек (Д). Всего 10 учеников.

Вероятность выбрать первого мальчика: P(М1) = 5/10 = 1/2

Вероятность выбрать первую девочку: P(Д1) = 5/10 = 1/2

а) Два мальчика:

Вероятность выбрать второго мальчика, если первый был мальчик: P(М2|М1) = 4/9 (осталось 4 мальчика из 9 учеников).

Вероятность того, что оба выбраны мальчики:

P(М1 и М2) = P(М1) * P(М2|М1) = (5/10) * (4/9) = 20/90 = 2/9

б) Мальчик и девочка:

Возможны два варианта: сначала мальчик, потом девочка (М1 и Д2) ИЛИ сначала девочка, потом мальчик (Д1 и М2).

Вероятность (М1 и Д2) = P(М1) * P(Д2|М1) = (5/10) * (5/9) = 25/90

Вероятность (Д1 и М2) = P(Д1) * P(М2|Д1) = (5/10) * (5/9) = 25/90

Общая вероятность выбрать мальчика и девочку:

P(Мальчик и девочка) = P(М1 и Д2) + P(Д1 и М2) = 25/90 + 25/90 = 50/90 = 5/9

в) Хотя бы одна девочка:

Это событие противоположно событию «выбраны два мальчика». Проще посчитать вероятность противоположного события и вычесть из 1.

P(хотя бы одна девочка) = 1 - P(оба мальчика)

P(хотя бы одна девочка) = 1 - 2/9 = 7/9

Альтернативный способ для пункта в):

«Хотя бы одна девочка» включает в себя случаи: мальчик и девочка ИЛИ две девочки.

Вероятность выбрать двух девочек: P(Д1 и Д2) = P(Д1) * P(Д2|Д1) = (5/10) * (4/9) = 20/90 = 2/9

P(хотя бы одна девочка) = P(Мальчик и девочка) + P(Д1 и Д2) = 5/9 + 2/9 = 7/9

Ответ:

• а) Два мальчика: 2/9
• б) Мальчик и девочка: 5/9
• в) Хотя бы одна девочка: 7/9