2. В коробке лежат 3 красных и 7 черных шаров. Найдите вероятность того, что вынутые наугад 2 шара окажутся красными.

Решение:

Всего в коробке шаров: $$3 + 7 = 10$$.

Мы хотим найти вероятность того, что оба вынутых шара будут красными.

Способ 1: Последовательное извлечение

1. Вероятность вынуть первый красный шар: $$P(1-й ext{ красный}) = \frac{3}{10}$$ (так как всего 3 красных шара из 10).
2. После того, как мы вынули один красный шар, в коробке осталось 9 шаров, из них 2 красных.
3. Вероятность вынуть второй красный шар при условии, что первый был красным: $$P(2-й ext{ красный} | 1-й ext{ красный}) = \frac{2}{9}$$.
4. Вероятность того, что оба шара окажутся красными, равна произведению этих вероятностей:

\[ P( ext{оба красные}) = P(1-й ext{ красный}) × P(2-й ext{ красный} | 1-й ext{ красный}) = \frac{3}{10} × \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \]

Способ 2: Через сочетания

1. Общее количество способов выбрать 2 шара из 10:

\[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45 \]

2. Количество способов выбрать 2 красных шара из 3:

\[ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 × 2}{2 × 1} = 3 \]

3. Вероятность выбрать 2 красных шара равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P( ext{оба красные}) = \frac{\text{Число способов выбрать 2 красных шара}}{\text{Общее число способов выбрать 2 шара}} = \frac{C_3^2}{C_{10}^2} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15} \]

Ответ: $$\frac{1}{15}$$