2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно a. Точка K принадлежит BB₁, и B₁K:KB = 1:4, точка P принадлежит DD₁, и D₁P:PD = 3:1. Постройте точку F пересечения прямых KP и BD. Найдите длину отрезка BF.

Введём координаты в единицах длины ребра: B=(0,0,0), D=(1,0,0), B₁=(0,0,1), D₁=(1,0,1), A=(0,1,0), C=(1,1,0). Тогда направление оси z соответствует рёбрам куба BB₁ и DD₁.

Из B₁K:KB=1:4 следует, что KB=\(\frac45a\), поэтому K=(0,0,\(\frac45\)). Из D₁P:PD=3:1 следует, что PD=\(\frac14a\), поэтому P=(1,0,\(\frac14\)).

Прямая KP задаётся точками K+t(P−K). Для пересечения с BD высота должна быть равна нулю:

\(\frac45+t(\frac14-\frac45)=0\), откуда \(t=\frac{16}{11}\).

Следовательно, F=(\(\frac{16}{11}\),0,0). На прямой BD точка с таким параметром находится за точкой D, а BF=\(\frac{16}{11}\) диагонали грани BD. Диагональ квадрата со стороной a равна \(a\sqrt2\).

Ответ: \(BF=\frac{16\sqrt2}{11}a\).