2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K — центр грани AA₁B₁B. Какой угол, острый, прямой или тупой, между векторами \(\overrightarrow{A₁C}\) и \(\overrightarrow{KD}\)?

Пусть ребро куба равно a. Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A₁(0,0,a)\).

Так как K — центр грани \(AA₁B₁B\), то \(K(\frac a2,0,\frac a2)\).

Найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{A₁C}=(a,a,-a)\),

\(\overrightarrow{KD}=(-\frac a2,a,-\frac a2)\).

Их скалярное произведение:

\(\overrightarrow{A₁C}\cdot\overrightarrow{KD}=a(-\frac a2)+a\cdot a+(-a)(-\frac a2)=a^2\).

Длины векторов:

\(|\overrightarrow{A₁C}|=a\sqrt3\),

\(|\overrightarrow{KD}|=a\sqrt{\frac32}\).

Следовательно,

\(\cos\alpha=\frac{a^2}{a\sqrt3\cdot a\sqrt{\frac32}}=\frac{\sqrt2}{3}>0\).

Так как косинус угла положителен, угол является острым: \(\alpha=\arccos\frac{\sqrt2}{3}\approx61.9^\circ\).

Ответ: угол острый.