№ 2. В кубе с ребром 8 см построено сечение плоскостью α = (PMN), где P, M, N — середины рёбер. Вычислить периметр и площадь сечения.

Пусть P — середина ребра AA₁, M — середина ребра AB, N — середина ребра BC. Четвёртая вершина сечения Q является серединой ребра DD₁. Сечение PMNQ — квадрат.

1. Каждая сторона сечения соединяет середины двух перпендикулярных рёбер куба. Поэтому её длина равна:

   \[PM=MN=NQ=QP=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\text{ см}.\]

2. Периметр сечения:

   \[P=4\cdot4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\text{ см}.\]

3. Площадь сечения:

   \[S=(4\sqrt{2})^2=32\text{ см}^2.\]

Ответ: \(P=16\sqrt{2}\) см, \(S=32\) см².