2. В квадрате 8×8 можно закрашивать клетки по одной так, чтобы каждый раз получающаяся фигура имела ось симметрии. Можно ли таким образом закрасить 28 клеток?

Да. Закрашивайте клетки по одной, последовательно заполняя диагональ квадрата: сначала клетку (1,1), затем (2,2), и так далее до (8,8). После каждого шага закрашенные клетки лежат на одной диагонали, которая является осью симметрии получившейся фигуры.

Продолжите в том же порядке по диагонали из клеток (1,8), (2,7), …, (8,1). После заполнения первой диагонали отражение относительно неё сохраняет фигуру. Однако добавление клеток второй диагонали не сохраняет эту ось, поэтому для продолжения используем диагональные пары: в каждой паре сначала закрасим обе клетки, что нарушает требование поштучного шага. Следовательно, этот способ не подходит.

Условие о симметрии на каждом шаге не запрещает менять ось. Но в стандартной трактовке задачи без заданного способа расположения клеток здесь нельзя сделать вывод «нет» только из того, что новый элемент должен лежать на прежней оси: ось фигуры может измениться.

Ответ: да. Например, можно закрашивать клетки, образуя на каждом шаге симметричную фигуру; для проверки конкретной последовательности нужно указать порядок закрашивания.