2. В окружность, радиус которой равен 10, вписан прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 16. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, гипотенуза является диаметром окружности.
2. Диаметр окружности \( d = 2R \), где \( R = 10 \). Следовательно, гипотенуза \( c = 2 \cdot 10 = 20 \).
3. Обозначим катеты как \( a \) и \( b \). Нам дан один катет, пусть \( a = 16 \).
4. По теореме Пифагора \( a^2 + b^2 = c^2 \).
5. Подставим известные значения: \( 16^2 + b^2 = 20^2 \).
6. \( 256 + b^2 = 400 \).
7. \( b^2 = 400 - 256 = 144 \).
8. \( b = \sqrt{144} = 12 \).
9. Площадь прямоугольного треугольника равна \( S = \frac{1}{2}ab \).
10. \( S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96 \).

Ответ: 96