2) В окружность вписан треугольник со сторонами 10, 5 и 7. Отрезок от вершины, противоположной стороне 5, до центра окружности обозначен x. Найти x.

Отрезок от центра окружности до вершины вписанного треугольника — радиус описанной окружности. Найдём его по формуле \(R=\frac{abc}{4S}\).

Полупериметр треугольника: \(p=\frac{10+5+7}{2}=11\).

По формуле Герона площадь равна \(S=\sqrt{11(11-10)(11-5)(11-7)}=\sqrt{264}=2\sqrt{66}\).

Тогда \(x=R=\frac{10\cdot5\cdot7}{4\cdot2\sqrt{66}}=\frac{175}{4\sqrt{66}}=\frac{175\sqrt{66}}{264}\).

Ответ: \(x=\frac{175}{4\sqrt{66}}\).