2. В окружности с центром О, диаметр ЕК проходит через середину хорды АВ. Найдите все внутренние углы ДЕАД, если ∠EAD на 26° больше ∠ DEA.

Пошаговое решение:

1. Так как диаметр ЕК проходит через середину хорды АВ, то он перпендикулярен хорде. Следовательно, треугольник АЕВ является прямоугольным, а треугольники АОЕ и ВОЕ — равнобедренными (так как ОА = ОЕ = радиус).
2. В равнобедренном треугольнике АОЕ, углы при основании АЕ равны. Обозначим ∠OAE = ∠OEA = x.
3. В равнобедренном треугольнике ВОЕ, углы при основании ВЕ равны. Обозначим ∠OBE = ∠OEB = y.
4. По условию, ∠EAD на 26° больше ∠DEA. Это означает, что ∠EAD = ∠DEA + 26°.
5. В треугольнике АDE: ∠DAE + ∠ADE + ∠DEA = 180°.
6. Так как ЕК — диаметр, угол ∠EAE = 90°, и ∠EBD = 90°.
7. Рассмотрим треугольник АОЕ. OA = OE (радиусы), значит, треугольник равнобедренный. ∠OAE = ∠OEA.
8. Рассмотрим треугольник ВОЕ. OB = OE (радиусы), значит, треугольник равнобедренный. ∠OBE = ∠OEB.
9. У нас есть ∠EAD = ∠OAE = x. И ∠DEA = ∠OEA.
10. По условию ∠EAD = ∠DEA + 26°. Значит, x = ∠DEA + 26°.
11. В треугольнике АDE: ∠DAE = x. ∠ADE = ? ∠DEA = ?
12. Диаметр ЕК перпендикулярен хорде АВ, значит, треугольник АОЕ — прямоугольный. ∠AOE = 90°.
13. В прямоугольном треугольнике АОЕ: ∠OAE + ∠OEA = 90°.
14. Пусть ∠DEA = y. Тогда ∠EAD = y + 26°.
15. В треугольнике АDE: ∠DAE + ∠ADE + ∠DEA = 180°.
16. (y + 26°) + ∠ADE + y = 180°.
17. 2y + ∠ADE + 26° = 180°.
18. 2y + ∠ADE = 154°.
19. Поскольку ЕК проходит через середину АВ, ЕК перпендикулярно АВ.
20. В треугольнике АЕD, ∠EAD = ∠DEA + 26°.
21. Пусть ∠DEA = x. Тогда ∠EAD = x + 26°.
22. Так как ЕК перпендикулярно АВ, треугольник АОЕ равнобедренный (ОА=ОЕ) и ∠AOE = 90°.
23. Следовательно, ∠OAE = ∠OEA = 45°.
24. Тогда ∠DEA = 45°.
25. ∠EAD = 45° + 26° = 71°.
26. В треугольнике АЕД: ∠ADE = 180° - (∠EAD + ∠DEA) = 180° - (71° + 45°) = 180° - 116° = 64°.
27. Итак, углы треугольника АЕД равны: ∠EAD = 71°, ∠ADE = 64°, ∠DEA = 45°.
28. Проверка: 71° + 64° + 45° = 180°.

Ответ: ∠EAD = 71°, ∠ADE = 64°, ∠DEA = 45°.