№ 2. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды КА и КВ так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что АК = ВК.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники OAK и OBK.

1. Равные стороны: OA = OK = OB (все являются радиусами окружности).
2. Равные углы: По условию, ∠OAK = ∠OBK.
3. Общая сторона: OK является общей стороной для обоих треугольников.
4. Признак равенства треугольников: Мы имеем два равных угла и прилежащую к ним сторону (∠OAK = ∠OBK, OA = OB, OK — общая). Однако, это не прямой признак равенства. Давайте рассмотрим другой подход.
5. Рассмотрим треугольники OAK и OBK:
• OA = OB (радиусы).
• OK — общая сторона.
• Треугольник OAK равнобедренный, так как OA = OK (радиусы). Следовательно, ∠OKA = ∠OAK.
• Треугольник OBK равнобедренный, так как OB = OK (радиусы). Следовательно, ∠OKB = ∠OBK.
• Из условия ∠OAK = ∠OBK.
• Из равенства углов следует, что ∠OKA = ∠OKB.
• Рассмотрим треугольники OAK и OBK. У нас есть:
• OA = OB (радиусы).
• ∠OAK = ∠OBK (по условию).
• ∠OKA = ∠OKB (из того, что треугольники OAK и OBK равнобедренные и углы при основании равны).
• Таким образом, по двум углам и стороне между ними (примененному к треугольникам OAK и OBK, где мы доказали равенство углов при основании OK, и равенство углов при основании OA и OB), или по двум углам и прилежащей стороне, треугольники OAK и OBK равны.
• Вывод: Так как треугольники OAK и OBK равны, то их соответствующие стороны равны. Следовательно, АК = ВК.

Доказано.