2. В окружности с центром O проведены диаметры AC и BD. Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником. Найдите угол ABD, если AC = 13 см, BC = 6 см.

Доказательство. Диагонали четырёхугольника ABCD — AC и BD — являются диаметрами одной окружности, поэтому они равны и делятся пополам в точке O. Значит, диагонали четырёхугольника равны и пересекаются, делясь пополам. Такой четырёхугольник — прямоугольник.

В прямоугольнике ∠BAD = 90°, AD = BC = 6 см, а BD = AC = 13 см. В прямоугольном треугольнике ABD:

\(\sin \angle ABD = \frac{AD}{BD} = \frac{6}{13}\).

Следовательно, \(\angle ABD = \arcsin(6/13) \approx 27.5^\circ\).

Ответ: \(\angle ABD \approx 27.5^\circ\).