2. В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии 18 человек, по тригонометрии 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрия 9 человек, по геометрии и тригонометрии 8 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи?

Пояснение:

Эту задачу удобно решать с помощью принципа включения-исключения или используя диаграммы Эйлера-Венна. Мы найдем количество учащихся, решивших хотя бы одну задачу, а затем вычтем это число из общего числа участников, чтобы узнать, сколько человек не решили ни одной задачи. В итоге, зная количество тех, кто решил хотя бы одну задачу, и тех, кто решил задачи парами, мы сможем найти тех, кто решил все три задачи.

Пошаговое решение:

Дано:

• Всего участников: 40
• Решили алгебру (A): 20
• Решили геометрию (G): 18
• Решили тригонометрию (T): 18
• Решили алгебру и геометрию (A ∩ G): 7
• Решили алгебру и тригонометрию (A ∩ T): 9
• Решили геометрию и тригонометрию (G ∩ T): 8
• Не решили ни одной задачи: 3

1. Найдем количество учащихся, решивших хотя бы одну задачу:

Общее количество участников минус те, кто не решил ни одной задачи.

Решили хотя бы одну задачу = 40 - 3 = 37 человек.

2. Используем принцип включения-исключения для нахождения числа решивших все три задачи.

Формула для трех множеств:

|A ∪ G ∪ T| = |A| + |G| + |T| - |A ∩ G| - |A ∩ T| - |G ∩ T| + |A ∩ G ∩ T|

Где |A ∪ G ∪ T| - количество решивших хотя бы одну задачу.

Подставляем известные значения:

37 = 20 + 18 + 18 - 7 - 9 - 8 + |A ∩ G ∩ T|

3. Вычисляем сумму и разность:

37 = 56 - 24 + |A ∩ G ∩ T|

37 = 32 + |A ∩ G ∩ T|

4. Находим количество учащихся, решивших все три задачи (|A ∩ G ∩ T|):

|A ∩ G ∩ T| = 37 - 32

|A ∩ G ∩ T| = 5

Ответ: 5 учащихся решили все задачи.