2. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 4, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 3√3. Найдите объём пирамиды SABC.

Решение:

Объём пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.

1. Основанием пирамиды является правильный треугольник ABC со стороной \( a = 4 \). Площадь правильного треугольника находится по формуле: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
2. Вычислим площадь основания: \( S_{осн} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \)
3. Высота пирамиды — это боковое ребро SA, так как оно перпендикулярно основанию. По условию \( h = SA = 3\sqrt{3} \).
4. Вычислим объём пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 3 \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 3 = 12 \)

Ответ: 12.