2. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 75°. Найдите остальные углы треугольника ABC. Сколько градусов составляет угол BCA?

Обозначим ∠HBC = x. Так как BH ⟂ AC, в прямоугольном треугольнике BHC угол BCA = 90° − x.

Из условия AH = BC + CH следует ∠ABH = x / 2: действительно, tan ∠ABH = BH / AH = sin x / (1 + cos x) = tan(x / 2). Поэтому ∠ABC = x + x / 2 = 75°, откуда x = 50°.

Тогда ∠BCA = 90° − 50° = 40°.

Ответ: 40