2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CK. а) Докажите, что угол HAC равен углу HKC. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что HK = 6 и ∠ABC = 60°.

а) Так как AH ⟂ BC и H принадлежит BC, то ∠AHC=90°. Аналогично, CK ⟂ AB и K принадлежит AB, поэтому ∠AKC=90°. Следовательно, точки A, H, C, K лежат на одной окружности с диаметром AC. Углы HAC и HKC — вписанные углы, опирающиеся на одну хорду HC, поэтому они равны.

б) Обозначим BH=x и BK=y. В треугольнике BHK угол HBK равен ∠ABC=60°, поэтому по теореме косинусов:

\[HK^2=x^2+y^2-2xy\cos60^\circ=x^2+y^2-xy.\]

В прямоугольных треугольниках ABH и CBK имеем AB=2x и BC=2y. По теореме косинусов в ABC:

\[AC^2=(2x)^2+(2y)^2-2(2x)(2y)\cos60^\circ=4(x^2+y^2-xy)=4HK^2.\]

Значит, AC=2HK=12. Радиус описанной окружности удовлетворяет формуле AC=2R\(\sin\)∠ABC, откуда:

\[R=\frac{12}{2\sin60^\circ}=4\sqrt3.\]

Ответ: \(4\sqrt3\).