2. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основанием служит ромб $ABCD$, $\angle A_1AD=\angle A_1AB$. Используя векторы, докажите, что $BD\perp AA_1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основанием служит ромб $ABCD$, $\angle A_1AD=\angle A_1AB$. Используя…$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим $\vec{AA_1}=\vec x$, $\vec{AB}=\vec u$, $\vec{AD}=\vec v$.

Так как $ABCD$ — ромб, то $|\vec u|=|\vec v|$.
Условие $\angle A_1AD=\angle A_1AB$ означает равенство косинусов этих углов:
\[\frac{(-\vec x)\cdot\vec v}{|\vec x|\,|\vec v|}=\frac{(-\vec x)\cdot\vec u}{|\vec x|\,|\vec u|}.\]
Поскольку $|\vec u|=|\vec v|$, после сокращения получаем:
\[\vec x\cdot\vec v=\vec x\cdot\vec u,\qquad \vec x\cdot(\vec v-\vec u)=0.\]
Вектор диагонали $\overrightarrow{BD}$ выражается так:
\[\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\vec u+\vec v=\vec v-\vec u.\]
Следовательно,
\[\vec{AA_1}\cdot\overrightarrow{BD}=\vec x\cdot(\vec v-\vec u)=0.\]

Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Ответ: $BD\perp AA_1$.

2. В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) основанием служит ромб \(ABCD\), \(\angle A_1AD=\angle A_1AB\). Используя векторы, докажите, что \(BD\perp AA_1\).