2. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC, если AB = 12.

Обозначим BC = AD через x. Биссектриса угла A пересекает BC в точке M, а биссектриса угла D — в точке N.

В треугольнике ABM углы при A и B равны: биссектриса делит угол A пополам, а BC ∥ AD. Поэтому AB = BM = 12.

Аналогично, в треугольнике DCN углы при D и C равны, поэтому DC = CN. В параллелограмме DC = AB = 12, значит CN = 12.

Поскольку точки расположены на BC в порядке B, M, N, C, имеем BC = BM + MN + CN. По условию MN = 2·BM = 24.

Следовательно, BC = 12 + 24 + 12 = 48.

Ответ: 48.