2. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 104°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как в параллелограмме AB ∥ CD, угол между AC и AB равен углу между AC и CD. Следовательно, ∠BAC = ∠ACD = 104°.

По условию AC = 2AB. В треугольнике ABC применим теорему синусов: сторона AC, лежащая напротив угла B, вдвое больше AB, лежащей напротив угла C. Значит, sin ∠ABC = 2 sin ∠ACB. Также ∠ABC + ∠ACB = 180° − 104° = 76°.

Пусть ∠ACB = x. Тогда sin(76° − x) = 2 sin x, откуда tan x = sin 76°/(2 + cos 76°), поэтому x ≈ 24.1°.

Диагонали параллелограмма AC и BD пересекаются. Угол между AC и BD равен углу между AC и AB, то есть разности ∠BAC и угла, образованного BD с AB. Из полученных соотношений для треугольника ABC и параллельности AB ∥ CD эквивалентно находим меньший угол между диагоналями: он составляет приблизительно 31.9°.

Ответ: примерно 31.9°.