Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2) В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. AC = 14, BD = 12, AD = 8. Найти DC, cos ∠ADB, sin ∠AOD,…Фото задания

Ответ:

  1. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон: AC² + BD² = 2(AB² + AD²). Поэтому AB² = (14² + 12²)/2 − 8² = 106. Так как противоположные стороны равны, DC = AB = √106.

  2. В треугольнике ADB по теореме косинусов: cos ∠ADB = (AD² + BD² − AB²)/(2 · AD · BD) = (64 + 144 − 106)/192 = 17/32.

  3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: AO = 7, DO = 6. В треугольнике AOD по теореме косинусов cos ∠AOD = (7² + 6² − 8²)/(2 · 7 · 6) = 1/4. Следовательно, sin ∠AOD = √15/4.

  4. Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними: S_ABCD = ½ · AC · BD · sin ∠AOD = ½ · 14 · 12 · √15/4 = 21√15.

Ответ: DC = √106; cos ∠ADB = 17/32; sin ∠AOD = √15/4; S_ABCD = 21√15.