2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. AB = 14, BD = 12, AD = 8. Найти ∠C, cos ∠ADB, sin ∠AOD и S_ABCD.

Считаем, что первая запись справа на изображении — «∠C = ?».

1. В треугольнике ADB по теореме косинусов: cos ∠ADB = (AD² + BD² − AB²) / (2 · AD · BD) = (64 + 144 − 196) / 192 = 1/16.
2. Смежные углы параллелограмма в сумме дают 180°, поэтому ∠C = ∠A. Найдём косинус ∠A по сторонам AB и AD и диагонали BD: cos ∠A = (AB² + AD² − BD²) / (2 · AB · AD) = (196 + 64 − 144) / 224 = 29/56. Следовательно, ∠C = arccos(29/56) ≈ 58,8°.
3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: OD = 6. По закону параллелограмма AC² + BD² = 2(AB² + AD²), поэтому AC² = 376 и AO = AC/2 = √94. В треугольнике AOD: cos ∠AOD = (AO² + OD² − AD²) / (2 · AO · OD) = 11/(2√94). Тогда sin ∠AOD = √(1 − 121/376) = √255/(2√94).
4. Площадь треугольника ADB по формуле Герона: p = (8 + 12 + 14)/2 = 17; S△ADB = √(17 · 9 · 5 · 3) = 3√255. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому S_ABCD = 6√255.

Ответ: ∠C = arccos(29/56) ≈ 58,8°; cos ∠ADB = 1/16; sin ∠AOD = √255/(2√94); S_ABCD = 6√255.