2. В параллелограмме ABCD, изображённом на рисунке, MK ∥ DC и PT ∥ DA. а) Разложите по векторам \(\vec a=\overrightarrow{DT}\) и \(\vec b=\overrightarrow{DA}\) векторы \(\overrightarrow{DO}\) и \(\overrightarrow{DB}\); б) разложите вектор \(\overrightarrow{OB}\) по векторам \(\vec m=\overrightarrow{MO}\) и \(\vec c=\overrightarrow{OP}\); \(\vec m=\overrightarrow{MO}\) и \(\vec n=\overrightarrow{AD}\).

По рисунку O — точка пересечения диагоналей, а прямые MK и PT проходят через O. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому M и T — середины AD и DC; P — середина AB.

а) Поскольку T — середина DC, \(\overrightarrow{DC}=2\vec a\). Кроме того, \(\overrightarrow{TO}=\frac12\vec b\). Тогда
\(\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DT}+\overrightarrow{TO}=\vec a+\frac12\vec b.\)
Так как \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=\vec b\), получаем
\(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=2\vec a+\vec b.\)

б) Из положения точек на рисунке следует, что \(\vec m=\overrightarrow{MO}=\vec a\) и \(\vec c=\overrightarrow{OP}=\frac12\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{OB}=\vec a+\frac12\vec b=\vec m+\vec c\).

Так как \(\vec n=\overrightarrow{AD}=-\vec b\), имеем \(\overrightarrow{OB}=\vec a+\frac12\vec b=\vec m-\frac12\vec n\).

Ответ: \(\overrightarrow{DO}=\vec a+\frac12\vec b\); \(\overrightarrow{DB}=2\vec a+\vec b\); \(\overrightarrow{OB}=\vec m+\vec c=\vec m-\frac12\vec n\).