2. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и AD взяты точки M и N соответственно так, что M — середина AB, AN : ND = 1 : 2. Выразите векторы CM, CN и MN через векторы a = CB, b = CD.

Обозначим начало отсчёта точкой C. Тогда положение точки B задаёт вектор \(\vec a\), а точки D — вектор \(\vec b\). В параллелограмме \(\overrightarrow{CA}=\vec a+\vec b\).

1. Так как M — середина AB, \(\overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}=\frac{(\vec a+\vec b)+\vec a}{2}=\vec a+\frac12\vec b\).
2. Из отношения \(AN:ND=1:2\) следует, что \(\overrightarrow{AN}=\frac13\overrightarrow{AD}\). Поскольку \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), получаем \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\vec a+\vec b+\frac13\vec b=\vec a+\frac43\vec b\).
3. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM}=\left(\vec a+\frac43\vec b\right)-\left(\vec a+\frac12\vec b\right)=\frac56\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{CM}=\vec a+\frac12\vec b;\quad \overrightarrow{CN}=\vec a+\frac43\vec b;\quad \overrightarrow{MN}=\frac56\vec b\).