2. В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AB$ и диагонали $AC$ взяты точки $E$ и $K$ соответственно так, что $AE:EB=3:2$, $AK:KC=5:2$. Выразите векторы $\overrightarrow{DK}$, $\overrightarrow{CE}$ и $\overrightarrow{KE}$ через векторы $\vec a=\overrightarrow{AB}$ и $\vec b=\overrightarrow{AD}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AB$ и диагонали $AC$ взяты точки $E$ и $K$ соответственно так, что…$ Фото задания

2. В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AB$ и диагонали $AC$ взяты точки $E$ и $K$ соответственно так, что $AE:EB=3:2$, $AK:KC=5:2$. Выразите векторы $\overrightarrow{DK}$, $\overrightarrow{CE}$ и $\overrightarrow{KE}$ через векторы $\vec a=\overrightarrow{AB}$ и $\vec b=\overrightarrow{AD}$.

Accepted Answer

Обозначим точку $A$ началом отсчёта. Тогда $\overrightarrow{AB}=\vec a$, $\overrightarrow{AD}=\vec b$, а $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$.

Из отношения $AE:EB=3:2$ следует $\overrightarrow{AE}=\frac35\vec a$.
Из отношения $AK:KC=5:2$ следует $\overrightarrow{AK}=\frac57(\vec a+\vec b)$.
Вектор от $D$ к $K$:
$\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AD}=\frac57(\vec a+\vec b)-\vec b=\frac57\vec a-\frac27\vec b.$
Вектор от $C$ к $E$:
$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}=\frac35\vec a-(\vec a+\vec b)=-\frac25\vec a-\vec b.$
Вектор от $K$ к $E$:
$\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AK}=\frac35\vec a-\frac57(\vec a+\vec b)=-\frac4{35}\vec a-\frac57\vec b.$

Ответ: $\overrightarrow{DK}=\frac57\vec a-\frac27\vec b$, $\overrightarrow{CE}=-\frac25\vec a-\vec b$, $\overrightarrow{KE}=-\frac4{35}\vec a-\frac57\vec b$.