2. В параллелограмме ABCD на стороне AB отмечена точка K так, что AK:KB = 1:2. O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы OC и CK через векторы a = AB и b = AD.

Пусть начало отсчёта находится в точке A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{AD}=\vec{b}\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}\).

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\). Тогда

\[\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}=\vec{a}+\vec{b}-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}.\]

2. Из отношения \(AK:KB=1:2\) следует, что \(\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\vec{a}\). Поэтому

\[\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\vec{a}-(\vec{a}+\vec{b})=-\frac{2}{3}\vec{a}-\vec{b}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\), \(\overrightarrow{CK}=-\frac{2}{3}\vec{a}-\vec{b}\).