2. В параллелограмме ABCD на стороне AB отмечена точка K так, что AK : KB = 2 : 1, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{OC}\) и \(\overrightarrow{CK}\) через векторы \(\vec{a}=\overrightarrow{AB};\ \vec{b}=\overrightarrow{AD}\).

Примем точку A за начало отсчёта. Тогда положение точек задаётся векторами: \(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{AD}=\vec{b}\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}\).

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\).
2. Следовательно, \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}=\vec{a}+\vec{b}-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\).
3. Из отношения \(AK:KB=2:1\) следует \(\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\vec{a}\). Тогда \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\vec{a}-(\vec{a}+\vec{b})=-\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}\).

Ответ: \(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b},\quad \overrightarrow{CK}=-\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}\).