2. В параллелограмме ABCD на стороне BC взята точка P так, что BP:PC = 3:1, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы AO и PA через векторы x = AB и y = AD.

Пусть \(\vec{AB}=\vec x\), \(\vec{AD}=\vec y\). Тогда \(\vec{AC}=\vec x+\vec y\). Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому

\[\vec{AO}=\frac12\vec{AC}=\frac12(\vec x+\vec y).\]

Так как \(BP:PC=3:1\), точка \(P\) делит сторону \(BC\) в отношении 3:1 от точки \(B\). При этом \(\vec{BC}=\vec y\), значит \(\vec{BP}=\frac34\vec y\). Поэтому

\[\vec{AP}=\vec{AB}+\vec{BP}=\vec x+\frac34\vec y,\]

и

\[\vec{PA}=-\vec{AP}=-\vec x-\frac34\vec y.\]

Ответ: \(\vec{AO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\vec{PA}=-\vec x-\frac34\vec y\).