2. В параллелограмме ABCD на стороне CB отмечена точка P так, что BP:PC = 3:1, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

Положим начало в точке A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а диагональ параллелограмма задаётся равенством \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\).
2. Так как \(BP:PC=3:1\), точка P делит CB в отношении 3:1 от B к C. Следовательно, \(\overrightarrow{BP}=\frac34\overrightarrow{BC}=\frac34\vec b\), поскольку \(\overrightarrow{BC}=\vec b\).
3. Складываем векторы по пути от A через B к P: \(\overrightarrow{AP}=\vec a+\frac34\vec b\). Меняем направление на противоположное: \(\overrightarrow{PA}=-\vec a-\frac34\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{PA}=-\vec a-\frac34\vec b\).