2. В параллелограмме ABCD O — точка пересечения диагоналей. а) Упростите выражение \(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}\); б) Найдите \(|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}|\), если \(AD=8\) см, \(CD=6\) см, а перпендикуляр, опущенный из вершины D на диагональ AC, равен 4 см.

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AD}=\vec v\). Тогда \(\overrightarrow{CB}=-\vec v\), \(\overrightarrow{CD}=\vec u\), \(\overrightarrow{BA}=-\vec u\). Так как \(O\) — середина диагонали \(BD\), то \(\overrightarrow{OB}=\frac12(\vec u-\vec v)\).

а)

\[\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}= -\vec v+\vec u-(-\vec u)-\frac12(\vec u-\vec v)=\frac32(\vec u-\vec v).\]

Поскольку \(\vec u-\vec v=\overrightarrow{DB}\), получаем:

\[\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OB}=\frac32\overrightarrow{DB}.\]

б) Пусть H — основание перпендикуляра из D на AC. В прямоугольных треугольниках \(ADH\) и \(CDH\):

\[AH=\sqrt{AD^2-DH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3,\]

\[CH=\sqrt{CD^2-DH^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt5.\]

Следовательно,

\[AC=AH+CH=4\sqrt3+2\sqrt5.\]

Для диагоналей параллелограмма используем закон параллелограмма:

\[AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)=2(6^2+8^2)=200.\]

Тогда

\[BD^2=200-(4\sqrt3+2\sqrt5)^2=200-(68+16\sqrt{15})=132-16\sqrt{15}.\]

Искомая длина равна:

\[\left|\frac32\overrightarrow{DB}\right|=\frac32BD=\frac32\sqrt{132-16\sqrt{15}}\text{ см}.\]

Ответ: а) \(\frac32\overrightarrow{DB}\); б) \(\frac32\sqrt{132-16\sqrt{15}}\) см.