2. В параллелограмме ABCD O — точка пересечения диагоналей, K — середина стороны CD. Выразите векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{AK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}=\vec a\) и \(\overrightarrow{AD}=\vec b\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому \(O\) — середина диагонали \(AC\).

Возьмём точку \(A\) за начало отсчёта. Тогда положение точки \(C\) задаёт вектор \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\), поскольку \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\), откуда \(\overrightarrow{OA}=-\frac12(\vec a+\vec b)\).

Так как \(K\) — середина \(CD\), а \(\overrightarrow{CD}=-\vec a\), то \(\overrightarrow{DK}=-\frac12\vec a\). Значит, \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK}=\vec b-\frac12\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{OA}=-\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{AK}=\vec b-\frac12\vec a\).