2. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла D, которая пересекает сторону BC в точке M; CD = 7 см, BM = 6 см (рис. 4). а) Докажите, что △DCM — равнобедренный. б) Найдите периметр параллелограмма ABCD. в) Определите вид четырёхугольника ABMD.

а) Так как DM — биссектриса угла D, то ∠CDM = ∠MDA. В параллелограмме BC ∥ AD, а точка M лежит на BC, поэтому CM ∥ AD и ∠MDA = ∠DMC. Следовательно, ∠CDM = ∠DMC, а в треугольнике DCM против равных углов лежат равные стороны: CD = CM. Значит, △DCM равнобедренный. В частности, CM = CD = 7 см.

б) BC = BM + MC = 6 + 7 = 13 см. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD = 7 см, AD = BC = 13 см. Тогда P = 2(AB + AD) = 2(7 + 13) = 40 см.

в) В четырёхугольнике ABMD стороны BM и AD параллельны, поскольку BM лежит на BC, а BC ∥ AD. Другая пара сторон не обязана быть параллельной. Следовательно, ABMD — трапеция.

Ответ: а) CD = CM, поэтому △DCM равнобедренный; б) 40 см; в) трапеция.