2. В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры BE и DF к диагонали AC. Докажите, что BFDE — параллелограмм.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Центральная симметрия с центром O переводит B в D и оставляет прямую AC на месте, поскольку O лежит на AC.

При этой симметрии перпендикуляр из B к AC переходит в перпендикуляр из D к AC. Следовательно, их основания E и F переходят друг в друга. Значит, O — середина отрезка EF. Также O — середина BD, так как диагонали параллелограмма делятся пополам.

В четырёхугольнике BFDE диагонали — BD и FE. Они пересекаются и делятся точкой O пополам. Следовательно, BFDE — параллелограмм.