2. В параллелограмме ABCD проведён перпендикуляр BK к стороне AD, причём точка K лежит на стороне AD. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что AK = 4 см, KD = 6 см, а ∠ABK = 30°.

Сначала найдём сторону AD: AD = AK + KD = 4 + 6 = 10 см. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому BC = AD = 10 см.

Треугольник ABK прямоугольный при K. Его угол при B равен 30°, а сторона AK, лежащая напротив этого угла, равна 4 см. В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, значит AB = 2 · AK = 8 см. Следовательно, CD = AB = 8 см.

Угол BAK = 60°, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника ABK равна 90°. Луч AK направлен вдоль AD, поэтому угол A параллелограмма равен 60°. Противоположный угол C также равен 60°, а соседние углы B и D равны 180° − 60° = 120°.

Ответ: AB = CD = 8 см, AD = BC = 10 см; ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°.