2) В параллелограмме ABCD точка M — середина CD, точка N лежит на AD, причём AN:ND=1:2. Выразить векторы CN и MN через \(\vec b=\overrightarrow{BC}\) и \(\vec a=\overrightarrow{BA}\).

Положим начало координат в точке B. Тогда \(\overrightarrow{BA}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), а из свойства параллелограмма \(\overrightarrow{BD}=\vec a+\vec b\).

1. Так как \(AN:ND=1:2\), точка N делит AD в отношении 1:2 от A, поэтому \(\overrightarrow{BN}=\vec a+\frac13\vec b\).
2. M — середина CD. Следовательно, \(\overrightarrow{BM}=\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})=\frac12(\vec b+\vec a+\vec b)=\frac12\vec a+\vec b\).
3. Вычитаем радиус-векторы концов: \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BC}=\vec a-\frac23\vec b\).
4. Аналогично, \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM}=\frac12\vec a-\frac23\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{CN}=\vec a-\frac23\vec b\), \(\overrightarrow{MN}=\frac12\vec a-\frac23\vec b\).

На доске также, по-видимому, написано, что N — середина AD. Это противоречит отношению \(AN:ND=1:2\). Решение выше использует явно записанное отношение; если N действительно середина, условие нужно уточнить.