2. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны BC, отрезки BD и AM пересекаются в точке O. а) Выразите \(\overrightarrow{AM}\) через \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\). б) Выразите \(\overrightarrow{BO}\) через \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\). в) Выразите \(\overrightarrow{OD}\) через \(\overrightarrow{AP}\) и \(\overrightarrow{AM}\), если P — середина отрезка CD. г)* Докажите, что \(OP<\frac23 AD+\frac16 AB\), если P — середина отрезка CD.

Question

Вопрос:

Фото задания: 2. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны BC, отрезки BD и AM пересекаются в точке O. а) Выразите…

2. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны BC, отрезки BD и AM пересекаются в точке O. а) Выразите \(\overrightarrow{AM}\) через \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\). б) Выразите \(\overrightarrow{BO}\) через \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\). в) Выразите \(\overrightarrow{OD}\) через \(\overrightarrow{AP}\) и \(\overrightarrow{AM}\), если P — середина отрезка CD. г)* Докажите, что \(OP<\frac23 AD+\frac16 AB\), если P — середина отрезка CD.

Accepted Answer

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=u\), \(\overrightarrow{AD}=v\). В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=v\).

Так как M — середина BC, \(\overrightarrow{BM}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12v\). Поэтому \(\overrightarrow{AM}=u+\frac12v\), то есть \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}\).
Точка O делит диагональ BD в отношении \(BO:OD=1:2\): действительно, из пересечения BD и AM, где \(AM=u+\frac12v\), получаем \(\overrightarrow{AO}=\frac23u+\frac13v\). Следовательно, \(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=\frac13(v-u)=\frac13(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})\).
Поскольку P — середина CD, \(\overrightarrow{AP}=\frac12u+v\). Пусть \(\overrightarrow{OD}=a\overrightarrow{AP}+b\overrightarrow{AM}\). Также \(\overrightarrow{OD}=-\frac23u+\frac23v\). Сравнивая коэффициенты при u и v, получаем систему \(\frac12a+b=-\frac23\), \(a+\frac12b=\frac23\). Отсюда \(a=\frac{20}{9}\), \(b=-\frac{16}{9}\). Значит, \(\overrightarrow{OD}=\frac{20}{9}\overrightarrow{AP}-\frac{16}{9}\overrightarrow{AM}\).
Так как \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AO}\), то \(\overrightarrow{OP}=-\frac16u+\frac23v=-\frac16\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AD}\). По неравенству треугольника \(OP\leq\frac16 AB+\frac23 AD\). В невырожденном параллелограмме векторы \(-\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) не параллельны, поэтому неравенство строгое: \(OP<\frac23AD+\frac16AB\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}\); б) \(\overrightarrow{BO}=\frac13(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})\); в) \(\overrightarrow{OD}=\frac{20}{9}\overrightarrow{AP}-\frac{16}{9}\overrightarrow{AM}\); г) доказано.