№ 2. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD, N — точка на стороне AD, такая, что AN:ND=1:2. Выразите векторы \(\overrightarrow{CN}\) и \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\vec b=\overrightarrow{BC}\) и \(\vec a=\overrightarrow{BA}\).

В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены как векторы: \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec b\). Возьмём точку A за начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=-\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec b-\vec a\).

Из отношения \(AN:ND=1:2\) следует, что N делит AD в отношении 1 к 2 от точки A: \(\overrightarrow{AN}=\frac13\vec b\).

Поскольку M — середина CD, \(\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac12((\vec b-\vec a)+\vec b)=\vec b-\frac12\vec a\).

Теперь вычтем радиус-векторы концов:

\(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\frac13\vec b-(\vec b-\vec a)=\vec a-\frac23\vec b.\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac13\vec b-(\vec b-\frac12\vec a)=\frac12\vec a-\frac23\vec b.\)

Ответ: \(\overrightarrow{CN}=\vec a-\frac23\vec b\), \(\overrightarrow{MN}=\frac12\vec a-\frac23\vec b\).