2. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны CD, N — точка на стороне AD, такая, что AN:ND=1:2. Выразите векторы CN и MN через векторы \(\vec b=\overrightarrow{BC}\) и \(\vec a=\overrightarrow{BA}\).

Так как ABCD — параллелограмм, то \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec b\).

Из отношения \(AN:ND=1:2\) следует:

\[\overrightarrow{AN}=\frac13\overrightarrow{AD}=\frac13\vec b.\]

Выразим положение точек относительно точки A:

\[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\vec a+\vec b,\]

так как \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}=-\vec a\).

Поскольку M — середина CD,

\[\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}2=\frac{(-\vec a+\vec b)+\vec b}{2}=-\frac12\vec a+\vec b.\]

Теперь найдём искомые векторы:

\[\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\frac13\vec b-(-\vec a+\vec b)=\vec a-\frac23\vec b.\]

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac13\vec b-\left(-\frac12\vec a+\vec b\right)=\frac12\vec a-\frac23\vec b.\]

Ответ: \(\overrightarrow{CN}=\vec a-\frac23\vec b\); \(\overrightarrow{MN}=\frac12\vec a-\frac23\vec b\).