2. В параллелограмме ABCD точка O — точка пересечения диагоналей. а) Упростите выражение \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{OD}\). б) Найдите \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{OD}\right|\), если \(AB=10\) см, \(BC=12\) см, а перпендикуляр, опущенный из вершины B на диагональ BC, равен 8 см.

а) Обозначим радиус-векторы точек буквами без стрелок. Тогда

\[\overrightarrow{AB}=B-A,\quad \overrightarrow{DA}=A-D,\quad \overrightarrow{CD}=D-C,\quad \overrightarrow{OD}=D-O.\]

Подставим их в выражение:

\[\begin{aligned}(B-A)-(A-D)+(D-C)-(D-O)&=B-2A+D-C+O.\end{aligned}\]

В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому \(A+C=B+D\), а значит \(O=\dfrac{A+C}{2}\). После подстановки получаем

\[B-2A+D-C+O=O-A=\overrightarrow{AO}.\]

б) В условии есть противоречие: в параллелограмме ABCD отрезок \(BC\) является стороной, а не диагональю. Перпендикуляр из точки \(B\) к прямой \(BC\) имеет длину 0, поэтому одновременно равным 8 см он быть не может. Кроме того, данных \(AB=10\) см и \(BC=12\) см недостаточно для нахождения длины диагонали \(AC\) или \(BD\).

Следовательно, пункт б) однозначно решить нельзя: вероятно, в условии допущена опечатка в названии диагонали или в точке, из которой проведён перпендикуляр.

Ответ: а) \(\overrightarrow{AO}\); б) условие содержит опечатку, поэтому численное значение определить нельзя.