№ 2. В параллелограмме ABCD точка O — точка пересечения диагоналей. На диагонали AC взята точка M так, что AM:MC=1:3. AB=a, BC=b. Построить векторы AC, BM через векторы a и b.

В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены как векторы: \(\vec{AD}=\vec{BC}=\vec b\), а \(\vec{BA}=-\vec a\).

1. По правилу сложения векторов вдоль пути \(A\to B\to C\): \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec a+\vec b\).

2. Из отношения \(AM:MC=1:3\) следует, что \(\vec{AM}=\frac14\vec{AC}=\frac14(\vec a+\vec b)\).

3. Складываем векторы вдоль пути \(B\to A\to M\): \(\vec{BM}=\vec{BA}+\vec{AM}=-\vec a+\frac14(\vec a+\vec b)=\frac14\vec b-\frac34\vec a\).

Ответ: \(\vec{AC}=\vec a+\vec b\), \(\vec{BM}=\frac14\vec b-\frac34\vec a\).