2. В параллелограмме ABCD точки F и E — середины сторон BC и CD, AB = b, AD = a. Выразить векторы AE и DF через векторы a и b.

Так как ABCD — параллелограмм, то \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf a\), а \(\overrightarrow{DC}=\mathbf b\) и \(\overrightarrow{BC}=\mathbf a\).

1. E — середина CD, поэтому \(\overrightarrow{DE}=\frac12\mathbf b\). Тогда \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\mathbf a+\frac12\mathbf b\).

2. F — середина BC, поэтому \(\overrightarrow{BF}=\frac12\mathbf a\). Тогда \(\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BF}\). Поскольку \(\overrightarrow{DB}=\mathbf b-\mathbf a\), получаем \(\overrightarrow{DF}=\mathbf b-\mathbf a+\frac12\mathbf a=\mathbf b-\frac12\mathbf a\).

Ответ: \(\overrightarrow{AE}=\mathbf a+\frac12\mathbf b\), \(\overrightarrow{DF}=\mathbf b-\frac12\mathbf a\).